オオクワガタの成虫が季節外れの暖かさで活動をはじめてしまいました。餌は与えた方がいいのでしょうか？また寿命も短くなってしまいますか？初めての越冬なので心配です。

勿論エサは与えた方がよいです。寿命は越冬をしているよりは多少は短くなるかとは思いますが、個体 それぞれの特性（性質）もありますのでそこは何とも言えないのが正直な所です。